Birgir afsluttede sin juridiske embedseksamen (cand.jur.) fra University of Iceland i juni 2003 og har siden opnået omfattende erfaring inden for juridisk rådgivning og advokatvirksomhed såvel i den offentlige sektor som i privat praksis. Han har ydet juridisk bistand til både private og virksomheder samt ført og behandlet sager ved domstole og offentlige myndigheder.

Birgir tiltrådte Lögmannsstofa Norðurlands i august 2019 og opnåede møderet for de islandske byretter i 2004. Birgir har BA i dansk fra Islands Universitet.